Занимательная математика. Пифагоровы штаны

Рис. 1

Продолжаю цикл постов о том, как мне приспичило доказать/решить какую-то задачку из школьного курса, пользуясь знаниями из головы. Сегодня расскажу про то, как мне взбрело в голову доказать теорему Пифагора, возвращаясь с летнего отдыха. Не зря говорю, что хороший отдых, это тот, после которого голова сама начинает заполняться мыслями, идеями и прочим творческим бредом :) Так было и в этот раз...

Доказательств теоремы Пифагора существует великое множество. От простым до самых извращенных; многие очень изящные. Ознакомиться с темой можно, например на Wiki.

Не помню, что было пройдено к моменту теоремы Пифагора по школьному курсу, поэтому беру все свои знания.. На самом деле, сам того не ведая, я предложил 2 доказательства теоремы. Одно - когда "изобретал" его, и второе - когда готовился писать этот пост, потому как не сохранились исходные записи.

Начну в обратном  порядке.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Или в терминах рисунка (рис. 1):  

Доказательство теоремы Пифагора. Способ 1: "Достроение" до квадрата.

Шаг 1. Имея наш прямоугольный треугольник (a, b, c) достроим его до квадрата со стороной a+b

Рис. 2

Шаг 2. Вписанный четырехугольник (рис. 2), ни что иное, как квадрат со стороной равной с.

Не буду приводить доказательство данного факта, это очевидно. Можно взглянуть на отмеченные углы α и β и сопоставить с шагом 1.

Шаг 3. Выразим площадь большого квадрата 2-мя способами:

Сопоставим:

Сокращая 2ab, получим необходимое равенство.

Ч.Т.Д.

Доказательство теоремы Пифагора. Способ 2: Через подобные треугольники.

Шаг 1. Опустим высоту треугольника из вершины прямого угла на гипотенузу.

Шаг 2. Обозначим вершины треугольники через A, B, C, а основание высоты - H.

Шаг 3. Воспользовавшись подобием треугольников, имеем:




, отсюда получаем, что:

Шаг 4. Преобразовываем равенства, с учетом того, что AH + HC = c.

Складываем (1) и (2):

Получаем необходимое равенство.

Ч.Т.Д.

Разминайте голову, пусть даже самыми простыми задачами :) В следующем выпуске будет не математика, а занимательный алгоритм... ;)

Контакты: